wyznacz dziedzinę

[kubala32]

Siemka potrzebuje pomocy w takim zadanku
Wyznacz dziedzinę


1. f(x)=arccos(tgx)

2.

1.jpg

(3.54 KiB) Nie pobierany

chyba powinno być w pierwszym -1<tgx<1 (oczywiście lub równe ) i na tym stanąłem nie mam pojęcia co dalej
a w drugim to to co pod pierwiastkiem większe lub równe zero tylko nie wiem co zrobić z e^x

[Adax82]

Ad.1.
Zobacz najpierw, co jest dziedziną funkcji arc(cosy) wtedy wybierzesz takie wartości funkcji tgx = y żeby spełniałó to warunki na dziedzinę.

Ad.2.
e^^x przyjmuje tylko i wyłącznie wartości dodatnie w całym przedziale x od minus do plus nieskończoności, zatem mianownik jest zawsze dodatni.
Zatem musimy nałożyć warunek: x-1= 0
odpowiedź: x jest większe-równe -1 ( x jest nie mniejsze niż zero )

[kubala32]

ok ale co do pierwszego to dziedzina tgx to jest D=R{pi/2 + kpi}
a arccos D= (-1 , 1) to jak to zapisać ?

[Adax82]

Podpowiedź: w przeciwieństwie do dziedziny sinx, cox, tgx i ctgx - gdzie zakres x jest od minus do plus nieskończoności, dziedziny funkcji arc są zupełnie inne. Koniecznie prześledź to.

[Adax82]

To może jeszcze inaczej:
w przedziale od x=-pi/2 do +pi/2 wartość funkcji tangens zmienia się od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Te wartości stanowią zmienną niezależną dla następnego etapu.
Skoro wartość zmiennej niezależnej dla funkcji arc cos x zmienia się od minus nieskończoności do plus nieskończoności to co dalej?.

[kubala32]

szczerze to nie wiem mi się wydaje
że to może być (-pi/2 +kpi,pi/2 +kpi)
bo tgx musi być w przedziale (-1 ,1 )

[Adax82]

kubala32,
1. Wydaje mi się, że jakoś źle naprowadzam Cię - czyli moja wina
2. Jestem prawie pewien, że nie znasz pojęcia funkcji odwrotnej np. sinx i arcsinx, tgx i arctgx, e^^x i lnx - nie wiem czyja tu wina.
3. Dziedziną funkcji arccos(x) jest przedział x od -1 do +1 włącznie z punktami x=-1 i x=1 ( a wartością tej funkcji jest przedział od pi do -pi )
4. Teraz tym naszym x jest tgx ( zmienną niezależną jest nie x a tgx ), i ma znaleźć się w przedziale od -1 do 1.
5. Jeśli tangens ( czegoś tam ) ma wartości od -1 do +1, to coś tam jest od -45^o do +45^o czyli od -pi/4 do pi/4
6. Nie będzie tu kpi bo jak narysowałbyś wykres ( szkoda, że nie mogę Ci tego zademonstrować ) - to nie otrzymamy wykresu funkcji, gdzie jednej wartości x może odpowiadać tylko jedna wartość y, ale określona wartość x może odpowiadać dowolnej ilości wielkości y ( co już funkcją nie jest - z definicji )
7. Dlatego pozostaje dziedzina: -pi/4<= xlt= pi/4 jako ostateczna odpowiedź do tego zadania
Odp.: x należy do przedziału domkniętego od -pi/4 do +pi/4

[Adax82]

W pkt. 6 przejęzyczyłem się. Powinno być:
.ale określona wartość y może odpowiadać dowolnej ilości wielkości x. ( np. wartość y=1 odpowiada nieskończonej ilości wartości x tutaj x = pi/2 + kpi )