Przypuśćmy, że √2 jest liczbą wymierną, więc √2 = p/q
Więc 2 = p2/q2
2q2=p2
I tutaj napisali, że w rozkładzie p do kwadratu, jest parzysta liczba dwójek - a w rozkładzie 2q2 - nieparzysta liczba dwójek - ja się pytam, jakich dwójek? O co w tym chodzi? Może ktoś wyjaśnić, na czym to polega? do tego momentu rozumiem:
2q2=p2
Wykaż, że √2 jest liczbą niewymierną
-
- Posty: 3779
- Rejestracja: 24 kwie 2010, o 12:11
Re: Wykaż, że √2 jest liczbą niewymierną
Jakich dwojek? Dowolnych dwojek. Zakladasz, ze istnieja takie calkowite p i q, ze p/q = v2.
Teraz p i q, jako calkowite, mozesz rozlozyc na czynniki pierwsze. Rozklad na czynniki ma to do siebie, ze jest funkcja - tylko jedna konkretna liczba rozklada sie w konkretny sposob. Tak samo konkretny rozklad jest przypisany (czytaj: daje po pomnozeniu) konkretna liczbe. Czyli dwa rozne rozklady to na pewno dwie rozne liczby, zgodzisz sie chyba?
No i teraz p i q rozkladasz na czynniki pierwsze. Powiedzmy ze w p n razy wystepuje 2, a w q m razy.
Podnosisz do kwadratu, tak jak tam napisales, otrzymujesz p^2 i q^2. I teraz je rozkladasz na czynniki pierwsze. Ale juz rozlozyles p i q, wiec masz prosciej - kazdy czynnik wystapi po prostu dwa razy czesciej, w koncu podnoszenie do kwadratu tym wlasnie jest. Czyli w p 2 wystawila n razy, w p^2 bedzie 2n razy. Analogiczne w q - m razy, w q^2 - 2m razy.
2n, 2m. widac pewien schemat, nie? Przy podnoszeniu do kwadratu kazdy czynnik wystepuje parzysta liczbe razy. W tym 2 - takze parzysta.
A wczesniej uznalismy, ze jesli istnieje takie p i q nalezace do C, ze v2 = p/q, to 2q^2 = p^2. Tylko w rozkladzie na czynniki pierwsze lewej strony masz nieparzysta liczbe dwojek (parzysta w kwadracie, i jeszcze jedna przed nim), a prawej parzysta (w kwadracie). A gdyby byla to ta sama liczba, to ich rozklad bylby identyczny.
Czyli nie wprost, przez sprzecznosc, doszlismy do wniosku ze teza nie mzoe byc prawdziwa. QED. [strasznie duzo pisania jak na taka [mod], ale mam nadzieje, ze zrozumiale. Zreszta widzac przy okazji, ze to samo odnosi sie do pierwiastka kwadratowego kazdej liczby pierwszej lub takiej w ktorej rozkladzie jakas liczba wystepuje nieparzysta ilosc razy - co jest zreszta naturalne, pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest generalnie albo naturalny, albo niewymierny]
Teraz p i q, jako calkowite, mozesz rozlozyc na czynniki pierwsze. Rozklad na czynniki ma to do siebie, ze jest funkcja - tylko jedna konkretna liczba rozklada sie w konkretny sposob. Tak samo konkretny rozklad jest przypisany (czytaj: daje po pomnozeniu) konkretna liczbe. Czyli dwa rozne rozklady to na pewno dwie rozne liczby, zgodzisz sie chyba?
No i teraz p i q rozkladasz na czynniki pierwsze. Powiedzmy ze w p n razy wystepuje 2, a w q m razy.
Podnosisz do kwadratu, tak jak tam napisales, otrzymujesz p^2 i q^2. I teraz je rozkladasz na czynniki pierwsze. Ale juz rozlozyles p i q, wiec masz prosciej - kazdy czynnik wystapi po prostu dwa razy czesciej, w koncu podnoszenie do kwadratu tym wlasnie jest. Czyli w p 2 wystawila n razy, w p^2 bedzie 2n razy. Analogiczne w q - m razy, w q^2 - 2m razy.
2n, 2m. widac pewien schemat, nie? Przy podnoszeniu do kwadratu kazdy czynnik wystepuje parzysta liczbe razy. W tym 2 - takze parzysta.
A wczesniej uznalismy, ze jesli istnieje takie p i q nalezace do C, ze v2 = p/q, to 2q^2 = p^2. Tylko w rozkladzie na czynniki pierwsze lewej strony masz nieparzysta liczbe dwojek (parzysta w kwadracie, i jeszcze jedna przed nim), a prawej parzysta (w kwadracie). A gdyby byla to ta sama liczba, to ich rozklad bylby identyczny.
Czyli nie wprost, przez sprzecznosc, doszlismy do wniosku ze teza nie mzoe byc prawdziwa. QED. [strasznie duzo pisania jak na taka [mod], ale mam nadzieje, ze zrozumiale. Zreszta widzac przy okazji, ze to samo odnosi sie do pierwiastka kwadratowego kazdej liczby pierwszej lub takiej w ktorej rozkladzie jakas liczba wystepuje nieparzysta ilosc razy - co jest zreszta naturalne, pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest generalnie albo naturalny, albo niewymierny]
-
- Podobne tematy
- Odpowiedzi
- Odsłony
- Ostatni post
-
- 1 Odpowiedzi
- 1108 Odsłony
-
Ostatni post autor: Adax82
29 wrz 2014, o 18:36
Kto jest online
Użytkownicy przeglądający to forum: Obecnie na forum nie ma żadnego zarejestrowanego użytkownika i 0 gości