Moment bezwładności

[Adax82]

Piotrek28,
.to kontynuujemy:

1. Najpierw musimy „rozprawić się” z określeniem mas poszczególnych figur ( będę odnosić się do numeracji jaką wprowadziłeś ) – bo tak czy inaczej musimy je obliczyć w celu rozwiązania zadania liczbowo. Myk w zadaniu polega na tym, że możemy łatwo określić pola powierzchni każdej z figury, mają one jednakową grubość/głębokość, zatem masa będzie proporcjonalna do powierzchni figury. Oznaczenia: S1 – pole powierzchni prostokąta 140x200 mm. Rozumiem, że pisząc na dole rysunku: wymiary „cały prostokąt” 140x220 popełniłeś oczywisty błąd poprzez nieuwagę i pomijamy to i zostajemy przy 140x200. S2, S3, S4, S5 i S6 – są oczywiste, a powierzchnię M oznaczę jako SM.
S1 = 140*200 = 28000
S2 = S3 = ½*50*100 = 2500
S4 =S5 = ½*40*80 = 1600
S6 = 80x100 = 8000
Możemy teraz obliczyć powierzchnię SM:
SM = S1 – S2 – S3 – S4 – S5 – S6 = 11800
W zadaniu podano, że masa M wynosi 100g zatem masy poszczególnych figur – z prostych proporcji – obliczymy:
m1 = 237 g
m2 = m3 = 21,2 g
m4 = m5 = 13,6 g
m6 = 67,8 g
i są one poporawne z dokładnością do 0,17%. Niedokładność jest wynikiem zaokrągleń.

2. Wyliczenie momentów bezwładności poszczególnych figur/brył względem przyjętej osi obrotu x = 70 mm = 0,07 m. Właściwym jest przejście na jednostki SI ale z uwagi na wielkości liczbowe przyjmę kg i cm. Dalsze obliczenia bezwzględnie wymagają rysunku – podeślę to w poniedziałek, ale teraz napiszę to, co i tak wymaga napisania.
Moment bezwładności prostokąta ( w rzeczywistości prostopadłościanu ) wynosi:
I1 = 1/12*m1*( 14^2 + 20^2 ) = 11,77 [kg*cm^2 ]
I6 = 1/12*m6*( 8^2 + 10^2 ) = 0,93 [kg*cm^2 ]

Moment bezwładności trójkąta S2: ( patrz rysunek, który załączę ):
Moment bezwładności trójkąta ( 5x10 ) względem osi przechodzącej przez jego środek ciężkości i równoległej do osi OY jest równy połowie momentu, wyznaczonego dla prostokąta o wymiarach 5x10. Moment dla takiego prostokąta wynosi:
Ia = 1/12*m*( 5^2 + 10^2 ) = 10,42*m [kg*cm^2 ], zatem dla naszego trójkąta S2 moment wyniesie I’2 = ½*Ia = ½*10,42*0,0212 = 0,11 [kg*cm^2 ]. Jednak środek ciężkości tego trójkata nie leży na prostej x = 7 ( cm ), a jest odsunięty od niej o 1,667 cm w lewo. Zatem musimy to uwzględnić posługując się tw. Steinera:
I2 = I’2 + m2*1,667^2 = 0,11 + 0,0212*1,667^2 = 0,169 [kg*cm^2 ]
Dla trójkąta S3 sytuacja jest analogiczna zatem
I3 = 0,169 [kg*cm^2 ]

Moment bezwładności trójkąta S4: ( patrz rysunek, który załączę ):
Moment bezwładności trójkąta ( 4x8 ) względem osi przechodzącej przez jego środek ciężkości i równoległej do osi OY jest równy połowie momentu, wyznaczonego dla prostokąta o wymiarach 4x8. Moment dla takiego prostokąta wynosi:
Ib = 1/12*m*( 4^2 + 8^2 ) = 6,67*m [kg*cm^2 ], zatem dla naszego trójkąta S4 moment wyniesie I’4 = ½*Ib = ½*6,67*0,0136 = 0,045 [kg*cm^2 ]. Jednak środek ciężkości tego trójkąta nie leży na prostej x = 7 ( cm ), a jest odsunięty od niej o 5,667 cm w lewo. Zatem musimy to uwzględnić posługując się tw. Steinera:
I4 = I’4 + m4*5,667^2 = 0,045 + 0,0136*5,667^2 = 0,482 [kg*cm^2 ]
Dla trójkąta S5 sytuacja jest analogiczna zatem
I5 = 0,482 [kg*cm^2 ]
Możemy teraz wyliczyć moment nezwładności IM:
IM = I1 – I2 –I3 – I4 –I5 – I6 = 11,77 – 0,169 – 0,169 – 0,482 – 0,482 – 0,93

IM = 9,538 [kg*cm^2 ]

Jeszcze uwaga: nie ma potrzeby wyliczania wszystkich współrzędnych środka ciężkości figury/bryły. Byłoby to potrzebne gdybyśmy musieli wyznaczyć wszystkie 3 wartości momentów bezwładności liczonych względem OX, OY i OZ. W naszym zadaniu liczyliśmy względem prostej x = 7 ( cm ) równoległej do OY, zatem potrzebne nam były przesunięcia w odniesieniu do x.

[Piotrek28]

Uff, sporo tego. Nie wyświetlają mi się rysunki poszczególnych figur. Jestem bardzo wdzięczny za okazaną pomoc, naprawdę się Pan bezinteresownie napracował i bardzo za to dziękuję.

[Adax82]

Piotrek28,
Robiąc te rysunki to zauważyłem, że w poprzednich obliczeniach poszedłem „na skróty” przy obliczaniu momentów bezwładności trójkątów. Tam trzeba użyć twierdzenia Steinera dwukrotnie:
raz przechodząc z osi środka ciężkości prostokąta na oś środka ciężkości trójkąta, a drugi raz mając już moment bezwładności trójkąta względem osi przechodzącej przez jego środek ciężkości, obliczyć z uwzględnieniem odległości tego środka ciężkości od osi OY, czyli osi obrotu.
Masz to dokładnie pokazane na załączonych rysunkach.

[Piotrek28]

Dzisiaj posiedziałem trochę nad tym zadaniem, i po drodze wyskoczyły mi dwa problemy, głównie tyczą się trójkątów, bo z nimi jest największa frajda o te przesunięcia, mianowicie:

Rozumiem, że dla trójkątów poprawne rozwiązanie znajduje się na tych zeskanowanych kartkach, gdyż środek ciężkości dla prostokąta i trójkąta (jego połowy) nie jest ten sam. Faktycznie, to nawet widać na rysunku jak się precyzyjnie zaznaczy środek ciężkości.

Problemy są następujące:

1) Czwarty i piąty trójkąt leży na osi y między podziałką (80 a 155), więc ma długość 75, wiem - to moja wina, gdyż nie zaznaczyłem tego na podziałce. Z tym się wiąże problem taki, że nie potrafię wyliczyć x1 i x2 dla nich, wiem, może to wydaje się głupie, ale jakoś tego nie mogę sobie tego wyobrazić.

2) Jak podstawiam pod ostateczny wzór dla momentu bezwładności drugiego i trzeciego trójkąta, to te momenty są większe od momentu bezwładności I1 (całego ogromnego prostokąta), więc wynik nie może wyjść na minusie.

Wiem, że głupio jest mi o coś jeszcze Pana prosić, ale zwracam się z prośbą o przedstawienie ostatecznego wzoru dla momentu bezwładności tylko dla wszystkich trójkątów. I przedstawienie x1 i x2 dla czwartego i piątego trójkąta z nową wysokością. Ewentualnie, jeżeli to nie jest za bardzo irytujące to proszę o te wyprowadzenie z podstawieniem liczb i ostatecznym wynikiem, dla przejrzystości i pewności, że te momenty będzie szło od siebie odjąć wynik ostateczny nie wyjdzie na minusie -)

Jeżeli chodzi o nową wysokość to poradziłem sobie z obliczeniem szacowanej masy, wychodzi mi 13,4 g. I wynik się zgadza, bo łączna masa wychodzi 100 g.

Momenty na minusie z tego co pamiętam często wychodziły w zadaniach z belką, ale tam sprawa tyczyła się tego, że odwrotnie przyjęliśmy kierunek wektora siły.

Einstein miał rację, wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy -)

[Adax82]

Piotrek28,

Wiem, że głupio jest mi o coś jeszcze Pana prosić.

spoko pytaj ile tylko chcesz, najwyżej nie dam rady odpowiedzieć.

Te trójkąty to jeszcze rozpisz mi dokładnie co do wymiarów, żeby nie trzeba było poprawiać danych ani domyślać się wartości.

Jak podstawiam pod ostateczny wzór dla momentu bezwładności drugiego i trzeciego trójkąta, to te momenty są większe od momentu bezwładności I1 (całego ogromnego prostokąta), więc wynik nie może wyjść na minusie.

Na pewno tak nie jest, sprawdzę to i narysuję jutro.

Ważne jednak jest żebyś dobrze zrozumiał, dlaczego wyliczając moment bezwładności trójkąta przesuniętego, mając do dyspozycji prostokąt - musimy przejść dwukrotnie przez tw. Steinera. Bo cyferki to potem same się ułożą.

[Piotrek28]

Trójkąt 2 i 3 - podziałka między 20 i 70 oraz 70 i 120, zatem a=50, natomiast ich wysokości są między podziałką 100 i 200, zatem h=100.

Trójkąt 4 i 5 - podziałka między 20 i 60 oraz 80 i 120, zatem a=40, natomiast ich wysokości są między podziałką 80 i 155, zatem h=75.

Tak, te przesunięcia sprawiają psikusa. Na początku myślałem, że rozwiązanie napisane w poście jest poprawne, dopóki nie zauważyłem, że środki ciężkości prostokąta i jego połowy są w dwóch różnych miejscach. I właśnie cała batalia toczy się o odległość między nimi.

Być może źle podstawiłem, stąd ten minus.

[Adax82]

Piotrek28,
.wszystko jest OK
prześledź uważnie załączone rysunki:

[Piotrek28]

Witam ponownie -)

W sprawie tego zadania, muszę poprosić Pana jeszcze raz o pomoc. Mianowicie polecenia, z którymi muszę się uporać to nowe zagadnienia, których szczerze mówiąc nie rozumiem, a bardzo chciałbym je poznać. Teraz sprawa tyczy się bardziej przestrzeni, gdzieniegdzie dowiedziałem się, że trzeba zastosować całki).

Nowe polecenia są następujące:
1) Wyliczyć moment bezwładności bryłki M względem osi X,Y,Z
2) Znaleźć kąt fi przedstawiony na rysunku (w górnym prawym rogu dałem jego opis, mam nadzieję, że zrobiłem to poprawnie)
3) Znaleźć biegun momentu bezwładności
4) Obliczyć wartość P.

Wyliczyłem, że wsp. środka ciężkości to (701100,5).
Poniżej załączam stare zdjęcie oraz nowe, które odgrywa tutaj kluczową rolę. Najbardziej interesuje mnie uporanie się z punktem 1) i 2), ale jeżeli 3) i 4) nie będą sprawiać Panu problemu, to również byłym bardzo wdzięczny. Proszę o pomoc w rozwiązaniu w miarę możliwości krok po kroku oraz o wyrozumiałość, gdyż nie jest to dla mnie łatwy orzech do zgryzienia -)

Pozdrawiam serdecznie!

[Adax82]

Piotrek28,
To na razie jeszcze wstęp do rozwiązania.
Wyznaczanie momentów względem osi OX, OY i OZ może być względem osi przecinającej środek ciężkości lub poza nim. Ja proponuję wyznaczanie względem osi przechodzącej przez środek ciężkości - co masz narysowane na rysunku pierwszym.

Wyznaczenie momentu bezwładności względem osi OY1 ( równoległej do OY ale przechodzącej przez środek ciężkości ) - został już wyznaczony poprzednio.Teraz zająć się należy dwoma pozostałymi przypadkami. Tutaj masz rozpoczętą dyskusję na drugim rysunku.

Trzeba będzie zmierzyć się z obliczeniami, niekiedy przy użyciu całek.
Żeby prześledzić to, dla przykładu obliczyłem oś środka ciężkości przypadkowego trójkąta - masz to na rys. 3

Teraz spróbuj sam obliczyć moment bezwładności względem osi OX lub OX1. Metody całkowania nie są tu wygodne, ale można też bez całkowania. Wrócę jeszcze do tego.

p.s. teraz zobaczyłem, że źle napisałem współrzędne wierzchołka C trójkąta ABC. Powinno być C(105 ) - ale to w niczym nie zmienia obliczeń oraz prawidłowości dalszych wyników, gdyż równanie boku AC napisane jest prawidłowo.

[Piotrek28]

W sumie niezła sprawa z wyznaczaniem osi środka ciężkości, dlatego że dzięki niej możemy podzielić daną figurę na dwie równe części, pod warunkiem, że znamy wzór funkcji, żeby móc ją wpisać do całki. Jest to dla mnie nowością, ponieważ nie miałem tego ani na wykładach ani na ćwiczeniach, a widzę, że jest to bardzo ważne zagadnienie -/

Szczerze mówiąc, całki liczyć umiem, z zastosowaniem trochę gorzej -) Jeżeli trójkąt postawimy do pionu, to wykres funkcji będzie brzmiał: -1/2x, ponieważ będzie to funkcja liniowa malejąca od punktu A do punktu C. Zatem sytuacja będzie analogiczna.

[Adax82]

Piotrek28,
Jeszcze dalsza część: jak obliczyć moment bezwładności E ( nasz drugi przypadek ). Najpierw należy wyznaczyć oś środka masy:

Jak masz wyznaczoną oś Xs to możesz już wyznaczyć moment bezwładności względem tej osi, dzieląc w odpowiedni sposób badaną figurę lub też poprzez całkowanie odpowiednich elementów, ale jest to żmudna robota. Spróbuj to pociągnąć dalej.

[Piotrek28]

Zrobiłem ćwiczenie, ale w dalszych obliczeniach siebie nie widzę, bo ledwo przyswajam praktykę na podstawie zapamiętywania schematu.

Tak jak napisałem wcześniej, zależy mi na obliczeniu podpunktu 1) oraz 2). Trzeci i czwarty podpunkt postaram się znaleźć w literaturze.

[Adax82]

Piotrek28,
Ćwiczenie zrobiłeś dobrze !
Policzę Ci to dalej ale bez rysunku nie obędzie się, więc dopiero na poniedziałek. Mam takie uwagi:
1. Czy obliczenie momentów ma odnosić się do osi OY, OX i OZ tak jak dałeś to na rysunku ? Czyli nie w osiach będących osiami, na których leżą odpowiednie środki ciężkości ? ( załączony Twój drugi rysunek nad moim postem, gdzie pokazałem to w kolorze ).
2. Ten Twój rysunek powinieneś zrobić w aksonometrii, żeby pokazać położenie osi OX i OY jeśli mamy liczyć względem osi OZ. Chodzi o to, że na tym Twoim drugim rysunku nie widać czy nasze M leży na płaszczyźnie XOY, czy pod nią czy też płaszczyzna XOY jest płaszczyzną symetrii. Mam nadzieję, że uczyli już was aksonometrii więc narysuj to odręcznie ale w sposób jednoznaczny.
3. Moje pytanie w pkt. 2 ma rozstrzygnąć, czy badany kąt fi leży na płaszczyźnie XOY czy też nie.
4. Tenże drugi Twój rysunek pokazuje miejsce zaczepienia xo i yo. Może tak być, czemu nie, ale pamiętaj, że ten punkt nie jest środkiem ciężkości badanej figury w żadnej z rozpatrywanych płaszczyzn.